Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1，x∈R．
（i）求f（x）的最小正周期及f（x）取得最小值時(shí)x的集合；
（ii）在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
（iii）說明f（x）的圖象如何由y=sinx變換得到；
（iv）求f（x）的單調(diào)區(qū)間、對稱軸萬程．

Answer 1

分析 （i）化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，即可求出f（x）的最小正周期及f（x）取得最小值時(shí)x的集合；
（ii）直接在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）在[0，π]上的圖象；
（iii）利用圖象的變換規(guī)律確定f（x）的圖象如何由y=sinx變換得到；
（iv）由圖象可得f（x）的單調(diào)區(qū)間、對稱軸方程．

解答 解：（i）函數(shù)f（x）=2sin²x+sin2x-1=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
所以f（x）的最小正周期是π，
當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即x=kπ-$\frac{π}{8}$（k∈Z）時(shí)，sin（2x-$\frac{π}{4}$）取得最小值-1，
從而f（x）取得最小值-$\sqrt{2}$，
所以f（x）取得最大值時(shí)x的集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z}．
（ii）圖象如圖所示．
（iii）由y=sinx向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话�，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{2}$倍得到明f（x）的圖象；
（iv）由圖象可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{3}{8}$π+kπ，$\frac{7π}{8}$+kπ]，單調(diào)增區(qū)間[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3}{8}$π+kπ]、對稱軸方程x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$．

點(diǎn)評 本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，周期的求法，圖象的作法，考查計(jì)算能力，作圖能力．