Question

如圖過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則拋物線的方程為（　　）

• A、y²=

  3

  2

  x
• B、y²=3x
• C、y²=

  9

  2

  x
• D、y²=9x

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|=a，根據(jù)拋物線定義可知|BD|=a，進(jìn)而推斷出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，進(jìn)而根據(jù)BD∥FG，利用比例線段的性質(zhì)可求得p，則拋物線方程可得．

解答： 解：如圖分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，
設(shè)|BF|=a，則由已知得：|BC|=2a，
由定義得：|BD|=a，
故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，
∵|AF|=3，|AC|=3+3a，
∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，從而得a=1，
∵BD∥FG，
∴

1

p

=

2

3

，
求得p=

3

2

，
因此拋物線方程為y²=3x，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生對(duì)拋物線的定義和基本知識(shí)的綜合把握．