Question

9．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且sinα=asinβ，tanα=btanβ，求證：cosα=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-1}{^{2}-1}}$．

Answer 1

分析 利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系，消去β，然后化簡(jiǎn)求解即可．

解答 證明：∵sinα=asinβ，tanα=btanβ，且a、β∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{bsinβ}{cosβ}$，
∴$\frac{asinβ}{cosα}$=$\frac{bsinβ}{cosβ}$，
化簡(jiǎn)得bcosα=acosβ；
∴b²cos²α=a²cos²β，
又sin²α=a²sin²β，
兩式相加得：sin²α+b²cos²α=a²；
即sin²α-sin²α-cos²α+b²cos²α=a²-1，
∴（b²-1）cos²α=a²-1；
即得cosα=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-1}{^{2}-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與恒等式的證明問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．