Question

1．已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=25，公比為5．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=log₅（5a_n），n=1，2，…，證明：{b_n}是等差數(shù)列，并求b₁+b₂+…+b₁₀₀的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：a_n=a₁q^n-1，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得b_n=n+2，再由等差數(shù)列的定義即可得證，以及求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）由等比數(shù)列的首項(xiàng)a₁=25，公比為5，
可得a_n=a₁q^n-1=25•5^n-1=5ⁿ⁺¹；
（2）證明：b_n=log₅（5a_n）=log₅（5ⁿ⁺²）=n+2，
b_n+1-b_n=n+3-（n+2）=1，
可得{b_n}是首項(xiàng)為3，公差d為1的等差數(shù)列；
b₁+b₂+…+b₁₀₀=100b₁+$\frac{100×99}{2}$d
=100×3+99×50=5250．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．