Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-1|-|x+1|．
（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；
（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|對(duì)任意a∈R恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值的幾何意義，求不等式|f（x）|＜1的解集；
（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|對(duì)任意a∈R恒成立，分類討論，轉(zhuǎn)化為|f（x）|≥2，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答 解：（1）x＜-1時(shí)，f（x）=-x+1+x+1=2＜1，不成立；
-1≤x≤1時(shí)，f（x）=-x+1-x-1=-2x，|-2x|＜1，
∴-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$；
x＞1時(shí)，f（x）=x-1-x-1=-2，|f（x）|＞1，不成立，
綜上所述不等式|f（x）|＜1的解集為{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$}；
（2）a=0時(shí)，不等式成立，
a≠0時(shí)，|f（x）|≥||1-$\frac{1}{a}$|-|1+$\frac{1}{a}$||
∵||1-$\frac{1}{a}$|-|1+$\frac{1}{a}$||＜2，
∴|f（x）|≥2，
x＜-1時(shí)，f（x）=-x+1+x+1=2，成立；
-1≤x≤1時(shí)，f（x）=-x+1-x-1=-2x，|-2x|≥2，∴x=±1；
x＞1時(shí)，f（x）=x-1-x-1=-2，|f（x）|=2，成立，
綜上所述實(shí)數(shù)x的取值范圍為{x|x≤-1或x≥1}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的恒成立問(wèn)題，絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來(lái)解，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．