Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+b（a，b∈R），記M是|f（x）|在區(qū)間[0，1]上的最大值．
（I）當b=0且M=2時，求a的值；
（Ⅱ）若M≤$\frac{1}{2}$，證明0≤a≤1．

Answer 1

分析 （1）明確二次函數(shù)的對稱軸，區(qū)間的端點值，由a的范圍明確函數(shù)的單調(diào)性，結合已知以及三個不等式變形所求得到證明；
（Ⅱ）因為∴|f（0）|$≤\frac{1}{2}$，|f（1）|$≤\frac{1}{2}$，可得-$\frac{1}{2}≤f（0）≤\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}≤f（\frac{1}{2}）≤\frac{1}{2}$，-1≤f（0）-f（1）≤1，且$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b}\\{f（1）=1-2a+b}\end{array}\right.$，可求$a=\frac{1+f（0）-f（1）}{2}$，而f（0）-f（1）∈[-1，1]，于是a∈[0，1]，

解答 解：（1）b=0時，f（x）=x²-2ax，
易知，|f（x）|在[0，1]上的最大值在{0，1]的端點處或對稱軸處取得．
而f（0）=0，
∴M=|f（1）|或|1-2a|=2，
∴a=-$\frac{1}{2}$或a=$\frac{3}{2}$，
此時，f（x）=x²+x或f（x）=x²-3x，
當f（x）=x²+x，|f（x）|在[0，1]上的最大值為2；
當f（x）=x²-3x時，|f（x）|在[0，1]上的最大值為|f（$\frac{3}{2}$）|=$\frac{9}{4}≠2$；
若M=|f（a）|，則a²=2，∴a=$±\sqrt{2}$，
當a=$-\sqrt{2}$時，f（x）=${x}^{2}+2\sqrt{2}x$在[0，1]上的最大值為1+2$\sqrt{2}$，
當a=$\sqrt{2}$時，f（x）=x${\;}^{2}+2\sqrt{2}x$$2\sqrt{2}-1$，
綜上，a=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵M$≤\frac{1}{2}$，
∴|f（0）|$≤\frac{1}{2}$，|f（1）|$≤\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}≤f（0）≤\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}≤f（\frac{1}{2}）≤\frac{1}{2}$，
∴-1≤f（0）-f（1）≤1，
且$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b}\\{f（1）=1-2a+b}\end{array}\right.$，
∴$a=\frac{1+f（0）-f（1）}{2}$，
而f（0）-f（1）∈[-1，1]，
∴a∈[0，1]，
∴0≤a≤1

點評 本題考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求法；解答本題的關鍵是正確理解M是|f（x）|在區(qū)間[0，1]上的最大值，以及利用絕對值不等式變形