Question

12．設(shè)A，B分別是雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}=1$的兩漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，且$|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{5}$，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，得x=x₁+x₂=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（y₁-y₂），y=y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x₁-x₂），由此利用|AB|=2$\sqrt{5}$，能求出點(diǎn)P的軌跡方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
∵動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，∴x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，
∵A，B分別是雙曲線$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}=1$的兩漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，
∴y₁=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x₁，y₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x₂，
∴x=x₁+x₂=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（y₁-y₂），y=y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x₁-x₂），
∴|AB|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}y）^{2}+（\frac{2}{\sqrt{5}}x）^{2}}$=2$\sqrt{5}$
化簡(jiǎn)可得P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查韋達(dá)定理、向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．