Question

3．如圖，在棱錐S-ABCD中，底面ABCD為菱形，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E、P、Q分別是棱AD、SC、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：PQ∥平面SAD；
（2）求證：AC⊥平面SEQ．

Answer 1

分析 （1）取SD中點(diǎn)F，連結(jié)AF，PF．證明PQ∥AF．利用直線與平面平行的判定定理證明PQ∥平面SAD．
（2）連結(jié)BD，證明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，得到SE⊥AC．證明EQ⊥AC，然后證明AC⊥平面SEQ．

解答 證明：（1）取SD中點(diǎn)F，連結(jié)AF，PF．
因?yàn)?nbsp;P，F(xiàn)分別是棱SC，SD的中點(diǎn)，
所以 FP∥CD，且FP=$\frac{1}{2}$CD．
又因?yàn)榱庑蜛BCD中，Q是AB的中點(diǎn)，
所以 AQ∥CD，且AQ=$\frac{1}{2}$CD．
所以 FP∥AQ且FP=AQ．
所以 AQPF為平行四邊形．
所以 PQ∥AF．
又因?yàn)?nbsp;PQ?平面SAD，
AF?平面SAD，
所以 PQ∥平面SAD．…（6分）
（2）連結(jié)BD，
因?yàn)椤鱏AD中SA=SD，點(diǎn)E棱AD的中點(diǎn)，
所以 SE⊥AD．
又 平面SAD⊥平面ABCD，
平面SAD∩平面ABCD=AD，
SE?平面SAD，
所以 SE⊥平面ABCD，
所以SE⊥AC．
因?yàn)?nbsp;底面ABCD為菱形，
E，Q分別是棱AD，AB的中點(diǎn)，
所以 BD⊥AC，EQ∥BD．
所以 EQ⊥AC，
因?yàn)?nbsp;SE∩EQ=E，
所以 AC⊥平面SEQ． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行以及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，棱錐的體積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．