Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+8lnx，若存在點(diǎn)A （t，f（t）），使得曲線y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)，則t=2．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在切點(diǎn)A處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-[$（2t+\frac{8}{t}）x-{t}^{2}+8lnt-8$]，求得導(dǎo)函數(shù)，由題意可得，t不是函數(shù)h（x）的極值點(diǎn)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求得t值．

解答 解：由f（x）=x²+8lnx，得${f^'}（x）=2x+\frac{8}{x}$，
則f′（t）=2t+$\frac{8}{t}$，又f（t）=t²+8lnt，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線方程為$y-（{t^2}+8lnt）=（2t+\frac{8}{t}）（x-t）$，
即：$y=（2t+\frac{8}{t}）x-{t^2}+8lnt-8（x＞0）$，
記$h（x）={x^2}+8lnx-[（2t+\frac{8}{t}）x-{t^2}+8lnt-8]={x^2}+8lnx-（2t+\frac{8}{t}）x+{t^2}-8lnt+8（x＞0）$，
則${h^'}（x）=2x+\frac{8}{x}-（2t+\frac{8}{t}）=\frac{{2（x-t）（x-\frac{4}{t}）}}{x}$，
若存在點(diǎn)A （t，f（t）），使得曲線y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)，則問(wèn)題等價(jià)于t不是極值點(diǎn)，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)$t=\frac{4}{t}$，即t=2時(shí)，t不是極值點(diǎn)，即h′（x）≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上遞增．
又h（t）=0，∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h（x）＞0，
即存在唯一點(diǎn)A（2，4+8ln2），使得曲線在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，對(duì)題意的正確理解是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．