Question

12．如圖1，在邊長為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，E為AD的中點．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A-EF-D與二面角B-CD-E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．

（1）在多面體中，求證：A，B，D，E四點共同面；
（2）求多面體的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，從而AE∥BD，由此能證明A，B，D，E四點共同面．
（2）求出AE是四棱錐A-CDEF的高，點A到平面BCD的距離等于點E到平面BCD的距離，多面體的體積V=V_A-CDEF+V_A-BCD，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）因為二面角A-EF-D的大小等于90°，
所以平面AEF⊥平面DEFC，
又AE⊥EF，AE?平面AEF，平面AEF∩平面DEFC=EF，
所以AE⊥平面DEFC，
同理，可得BD⊥平面DEFC，
所以AE∥BD，故A，B，D，E四點共同面．
解：（2）因為AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，
所以AE是四棱錐A-CDEF的高，點A到平面BCD的距離等于點E到平面BCD，
又$AE=DE=1，CD=2\sqrt{3}$，$EF=\sqrt{3}$，
所以$V={V_{A-CDEF}}+{V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{梯形CDEF}}•DE+\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•DE=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$．

點評 本題考查四點共面的證明，考查多面體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．