Question

設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.

(1)求的值；

(2)若對(duì)于任意的，恒成立，求的范圍；

(3)求證：

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求a的值；

（2）先將原來的恒成立問題轉(zhuǎn)化為lnx≤m(x?)，設(shè)g(x)＝lnx?m(x? )，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

（3）由（2）知，當(dāng)x＞1時(shí)，m＝時(shí)，lnx＜ (x?)成立．不妨令x＝，k∈N*，得出

[ln(2k+1)?ln(2k?1)]＜，k∈N*，再分別令k=1，2， ，n．得到n個(gè)不等式，最后累加可得．

(1) 2分

由題設(shè)，∴

，. 4分

(2),，，即

設(shè)，即.

6分

①若，，這與題設(shè)矛盾. 7分

②若方程的判別式

當(dāng)，即時(shí)，.在上單調(diào)遞減，

，即不等式成立. 8分

當(dāng)時(shí)，方程，設(shè)兩根為 ，

當(dāng),單調(diào)遞增，，與題設(shè)矛盾.

綜上所述， . 10分

(3) 由(2)知,當(dāng)時(shí), 時(shí),成立.

不妨令

所以，

11分

 

12分

累加可得

∴

∴ ---------------14分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；2.導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．