已知函數(shù)f（x）=ex-x
（1）證明：對一切x∈R，都有f（x）≥1
（2）證明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）（n∈N*）．
（1）由f′（x）=ex-1=0，得x=0
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴[f（x）]min=f（0）=1
∴x∈R時，f（x）≥1
（2）由（1）可知：當(dāng)x＞0時，ex＞x+1，即x＞ln（x+1）
則1＞ln2，
1
2
＞ln(
1
2
+1)，，
1
n
＞ln(
1
n
+1)
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln2+ln
3
2
+ln
4
3
+…+ln
n+1
n
=ln（n+1）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=e-x（cosx+sinx），將滿足f′（x）=0的所有正數(shù)x從小到大排成數(shù)列{xn}．求證：數(shù)列{f（xn）}為等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•西城區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=e|x|+|x|．若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•菏澤一模）已知函數(shù)f（x）=e|lnx|-|x-
1
x
|，則函數(shù)y=f（x+1）的大致圖象為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=e-xsinx（其中e=2.718…）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，+∞）上的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=e-x（x2+x+1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最值．

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同步練習(xí)冊答案