Question

1．若函數(shù)y=log_a（x-1）+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，則過(guò)點(diǎn)A且到原點(diǎn)的距離等于2的直線(xiàn)方程為x-2=0或3x+4y-10=0．

Answer 1

分析 由log_a1=0得x-1=1，求出x的值以及y的值，即求出定點(diǎn)A的坐標(biāo)．當(dāng)直線(xiàn)的斜率k不存在時(shí)，直線(xiàn)方程x=2，它到原點(diǎn)的距離是2，成立；當(dāng)直線(xiàn)的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y-1=k（x-2），整理，得kx-y-2k+1=0，由直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為2，解得k，由此能得到所求的直線(xiàn)方程．

解答 解：∵log_a1=0，
∴當(dāng)x-1=1，即x=2時(shí)，y=1，
則函數(shù)y=log_a（x-1）+1的圖象恒過(guò)定點(diǎn) A（2，1）．
∴①當(dāng)直線(xiàn)的斜率k不存在時(shí)，直線(xiàn)方程x=2，它到原點(diǎn)的距離是2，成立；
②當(dāng)直線(xiàn)的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y-1=k（x-2），整理，得kx-y-2k+1=0，
∵直線(xiàn)與原點(diǎn)的距離為2，
∴$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直線(xiàn)為3x+4y-10=0．
故所求的直線(xiàn)方程為：x=2或3x+4y-10=0．
故答案為：x=2或3x+4y-10=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和特殊點(diǎn)，主要利用log_a1=0，屬于基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用．易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽視直線(xiàn)的斜率不存在的情況．