Question

11．已知函數(shù)f（x）=x（a-lnx）-1（a∈R）．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在（1，e²）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（2）若f（x）在區(qū)間（1，e²）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值集合；
（3）若f（x）有兩零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，即可得出結(jié)論；
（2）f（x）在區(qū)間（1，e²）上是單調(diào)函數(shù)，可得a-1-lnx≥0或a-1-lnx≤0在區(qū)間（1，e²）上恒成立，即可求a的取值集合；
（3）由題意，lnx+$\frac{1}{x}$-a=0有兩零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），設(shè)g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到0＜x₁＜1＜x₂，設(shè)h（x）=g（x）-g（2-x），（0＜x＜1），結(jié)合h（x）的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）解：a=2，f（x）=x（2-lnx）-1，
∴f′（x）=1-lnx，
∴x∈（1，e），f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；x∈（e，e²），f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴f（e）=e-1＞0，
∴函數(shù)f（x）在（1，e²）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；
（2）解：∵f（x）=x（a-lnx）-1，
∴f′（x）=a-1-lnx，
∵f（x）在區(qū)間（1，e²）上是單調(diào)函數(shù)，
∴a-1-lnx≥0或a-1-lnx≤0在區(qū)間（1，e²）上恒成立，
∴a≥1+lnx或a≤1+lnx在區(qū)間（1，e²）上恒成立，
∴a≥3或a≤0；
（3）證明：∵f（x）有兩零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴x₁（a-lnx₁）-1=0，x₂（a-lnx₂）-1=0，
∴a=lnx₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$=lnx₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴l(xiāng)nx+$\frac{1}{x}$-a=0有兩零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），
設(shè)g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-a，g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)增，在（1，+∞）上單調(diào)減，
所以0＜x₁＜1＜x₂．
設(shè)h（x）=g（x）-g（2-x），（0＜x＜1），
則h（x）=lnx-ln（2-x）+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$（0＜x＜1），
h′（x）＞0恒成立，則h（x）在（0，1）上單調(diào)增，
所以h（x）＜h（1）=0，所以h（x₁）=g（x₁）-g（2-x₁）＜0，
即g（x₁）＜g（2-x₁），即g（x₂）＜g（2-x₁）
又g（x）在（1，+∞）上單調(diào)減，x₂，2-x₁∈（1，+∞），所以x₂＞2-x₁，即x₁+x₂＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．