Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+mx+

7

2

（m＜0），直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值．
（2）在（1）的條件下求函數(shù)F（x）=x-

m

x

（x＞0）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由題意，f′（x）=

1

x

，g′（x）=x+m（m＜0），從而可得直線l的斜率為k=f′（1）=1，切點(diǎn)為（1，0）；從而求出直線方程，聯(lián)立令△=0求m；
（2）代入得F（x）=x+

2

x

，利用基本不等式求值域．

解答： 解：（1）由題意，f′（x）=

1

x

，g′（x）=x+m（m＜0），
故直線l的斜率為k=f′（1）=1，切點(diǎn)為（1，0）；
故直線l的方程為y=x-1；
即x-y-1=0；
由

1 2 x2+mx+ 7 2 =y y=x-1

消y得，
x²+2（m-1）x+9=0；
故4（m-1）²-4×9=0，
解得，m=-2（m＜0）；
（2）由題意F（x）=x+

2

x

≥2

2

；
（當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

x

，即x=

2

時(shí)，等號(hào)成立）
故函數(shù)F（x）=x-

m

x

（x＞0）的值域?yàn)閇2

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．