Question

如圖是一個(gè)直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面

所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，

AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3，且設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)。

（1）證明：OC∥平面A₁B₁C₁；

（2）求異面直線(xiàn)OC與A_lB_l所成角的正切值。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D，得到OD∥BB₁∥CC_{1 ，}                                          

因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，可證ODCC₁是平行四邊形，因此有OC∥C₁D，推出OC∥面A₁B₁C₁ ；

（2）。

【解析】

試題分析：（1）證明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D    

              

則OD∥BB₁∥CC₁                                              

因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，

所以

則ODCC₁是平行四邊形，因此有OC∥C₁D

平面C₁B₁A₁且平面C₁B₁A₁，

則OC∥面A₁B₁C₁                   6分

（2）由（1）得OC∥C₁D，則為異面直線(xiàn)OC與A_lB_l所成角。

在中，         12分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，如果利用空間向量，可省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題。