Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+a|-|x-a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）若y＞0，證明：f（x）≤a²y+$\frac{1}{y}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用絕對(duì)值的定義，去掉絕對(duì)值，得到分段函數(shù)，再由各段求范圍，最后求并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值以及a²y+$\frac{1}{y}$的最小值，從而證得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：由已知可得：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4，x≥2}\\{2x，-2＜x＜2}\\{-4，x≤-2}\end{array}\right.$，
由x≥2時(shí)，4＞2成立；
-2＜x＜2時(shí)，2x≥2，即有x≥1，則為1≤x＜2．
所以，f（x）≥2的解集為{x|x≥1}；
（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|-|x-a|≤|（x+a）-（x-a）|=2|a|，
由于y＞0，則a²y+$\frac{1}{y}$≥2$\sqrt{{a}^{2}}$=2|a|，
∴f（x））≤a²y+$\frac{1}{y}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．