Question

8．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若4S${\;}_{n}^{2}$-2=a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$（n∈N^*），則S₄₀₀=20．

Answer 1

分析 利用4S${\;}_{n}^{2}$-2=a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$，可得2S_n=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，利用a_n=S_n-S_n-1，再寫一式，兩式相減，確定{S_n²}是公差為1的等差數(shù)列，可得S_n²=n，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵4S${\;}_{n}^{2}$-2=a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$，
∴4S${\;}_{n}^{2}$=a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$+2，
∴2S_n=a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
n≥2時，2S_n=S_n-S_n-1+$\frac{1}{{S}_{n}-{S}_{n-1}}$，
∴S_n²-S_n-1²=1，
∴{S_n²}是公差為1的等差數(shù)列，
∵2S₁=a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$，正項數(shù)列{a_n}，
∴a₁=1，
∴S₁²=1，
∴S_n²=n，
∴S₄₀₀=20．
故答案為：20．

點評 本題考查數(shù)列的通項與求和，考查等差數(shù)列的判斷，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．