Question

13．若動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A（0，1）與定直線l：y=3的距離之和為4．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；
（2）記（1）得到的軌跡為曲線C，若曲線C上恰有三對(duì)不同的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B（0，t）（t∈R）對(duì)稱，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），由題意$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+|y-3|=4，分類討論，可得點(diǎn)M的軌跡方程，并畫出方程的曲線草圖；
（2）若（x₀，y₀）∈C，則（-x₀，y₀）∈C，所以曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，所以一定存在關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，聯(lián)立方程組，得到4y₀=-12（2t-y₀-4）化簡(jiǎn)得t=$\frac{{y}_{0}+6}{3}$，（0≤y₀≤3），即可求出t的值．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），由題意$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$+|y-3|=4，
①：當(dāng)y≤3時(shí)，有$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=y+1，化簡(jiǎn)得：x²=4y
②：當(dāng)y＞3時(shí)，有$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=7-y，化簡(jiǎn)得：x²=-12（y-4）（二次函數(shù)）
綜上所述：點(diǎn)M的軌跡方程為x²=$\left\{\begin{array}{l}{4y，y≤3}\\{-12（y-4），y＞3}\end{array}\right.$（如圖1），
（2）若（x₀，y₀）∈C，則（-x₀，y₀）∈C，所以曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，所以一定存在關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，
下面研究P（x₀，y₀）是軌跡x²=4y（y≤3）上任意一點(diǎn)，則x₀²=4y₀，（y₀≤3），它關(guān)于B（0，t）的對(duì)稱點(diǎn)為Q（-x₀，2t-y₀），由于點(diǎn)Q在軌跡x₂=-12（y-4）上，如圖2．
所以（-x₀）²=-12（2t-y₀-4），聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}=4{y}_{0}^{\;}}\\{{x}_{0}^{2}=-12（2t-{y}_{0}-4）}\end{array}\right.$（*）得4y₀=-12（2t-y₀-4）化簡(jiǎn)得t=$\frac{{y}_{0}+6}{3}$，（0≤y₀≤3），
當(dāng)y₀∈（0，3）時(shí)，t∈（2，3），此時(shí)方程組（*）有兩解，即增加有兩組對(duì)稱點(diǎn)，
所以t的取值范圍是（2，3）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查點(diǎn)的對(duì)稱性、一元二次方程根的判別式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．