Question

4．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₁₅＞0，S₁₆＜0，則$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$，…，$\frac{{{S_{13}}}}{{{a_{13}}}}$中最大的項為（　�。�

• A． $\frac{{S}_{7}}{{a}_{7}}$
• B． $\frac{{S}_{6}}{{a}_{6}}$
• C． $\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$
• D． $\frac{{S}_{8}}{{a}_{8}}$

Answer 1

分析 設等差數列{a_n}的公差為d，由S₁₅＞0，S₁₆＜0，可得$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=15a₈＞0，$\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}$=8（a₈+a₉）＜0，a₈＞0，a₉＜0，因此d＜0．利用單調性即可得出．

解答 解：設等差數列{a_n}的公差為d，∵S₁₅＞0，S₁₆＜0，∴$\frac{15（{a}_{1}+{a}_{15}）}{2}$=15a₈＞0，$\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}$=8（a₈+a₉）＜0，
∴a₈＞0，a₉＜0，因此d＜0．
若視為函數，則對稱軸在S₈和S₉之間，
∵S₈＞S₉，∴S_n最大值是S₈，
故S_n最大值為S₈．
又d＜0，a_n遞減，前8項中S_n遞增，
故S_n最大且a_n取最小正值時$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$有最大值，
∴$\frac{{S}_{8}}{{a}_{8}}$最大．
故選：D．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、數列的單調性、二次函數的性質、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．