Question

16．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求二面角B-DC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）直三棱柱的底面三邊長分別為3、4、5，∴AC，BC，CC₁兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．只要證明$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C_1}}=0$，即可證明AC⊥BC₁．
（2）設(shè)CB₁∩C₁B=E，則E（0，2，2），可得$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C_1}}$，即DE∥AC₁，即可證明AC₁∥平面CDB₁．
（3）設(shè)平面CDB₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，可求得平面CDB₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$．取平面CDB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{0，0，1}）$，利用$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$即可得出．

解答 （1）證明：∵直三棱柱的底面三邊長分別為3、4、5，∴AC，BC，CC₁兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C₁（0，0，4），
D$（\frac{3}{2}，2，0）$．
∵$\overrightarrow{AC}=（{-3，0，0}），\overrightarrow{B{C_1}}=（{0，-4，4}）$，∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C_1}}=0$，即AC⊥BC₁．
（2）證明：設(shè)CB₁∩C₁B=E，則E（0，2，2），$\overrightarrow{DE}=（{-\frac{3}{2}，0，2}），\overrightarrow{A{C_1}}=（{-3，0，4}）$，
∴$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C_1}}$，即DE∥AC₁，∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）解：$\overrightarrow{CD}$=$（\frac{3}{2}，2，0）$，設(shè)平面CDB₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+2y=0}\\{-\frac{3}{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，
可求得平面CDB₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（4，-3，3）．
取平面CDB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{0，0，1}）$，
則$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{34}×1}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$．
由圖可知，二面角B-DC-B₁的余弦值為$\frac{{3\sqrt{34}}}{34}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．