Question

17．水是最常見的物質(zhì)之一，是包括人類在內(nèi)所有生命生存的重要資源，也是生物體最重要的組成部分．為了推動(dòng)對水資源進(jìn)行綜合性統(tǒng)籌規(guī)劃和管理，加強(qiáng)水資源保護(hù)，解決日益嚴(yán)峻的淡水缺乏問題，開展廣泛的宣傳以提高公眾對開發(fā)和保護(hù)水資源的認(rèn)識．中國水利部確定每年的3月22日至28日為“中國水周”，以提倡市民節(jié)約用水．某市統(tǒng)計(jì)局調(diào)查了該市眾多家庭的用水量情況，繪制了月用水量的頻率分布直方圖，如圖所示．將月用水量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的用水量相互獨(dú)立．
（Ⅰ）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)該地家庭的平均用水量；
（Ⅱ）求在未來連續(xù)3個(gè)月里，有連續(xù)2個(gè)月的月用水量都不低于12噸且另1個(gè)月的月用水量低于4噸的概率；
（Ⅲ）用X表示在未來3個(gè)月里用水量低于12噸的月數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，利用頻率分布直方圖能估計(jì)該地家庭的平均用水量．
（Ⅱ）設(shè)A₁表示事件“月用水量不低于12噸”，A₂表示事件“月用水量低于4噸”，B表示事件“在未來連續(xù)3個(gè)月里，有連續(xù)兩個(gè)月的月用水量都不低于12噸，且另外1個(gè)月的用水量低于4噸”，分別求出P（A${\;}_{{1}_{\;}}$），P（A₂），由每天的用水量相互獨(dú)立，能求出P（B）．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此，估計(jì)該地家庭的平均用水量為：
2×0.037×4+6×0.0625×4+10×0.075×4+14×0.05×4+18×0.025×4=9.4（噸）．
（Ⅱ）設(shè)A₁表示事件“月用水量不低于12噸”，A₂表示事件“月用水量低于4噸”，
B表示事件“在未來連續(xù)3個(gè)月里，有連續(xù)兩個(gè)月的月用水量都不低于12噸，且另外1個(gè)月的用水量低于4噸”，
因此，P（A${\;}_{{1}_{\;}}$）=（0.05+0.025）×4=0.3，
P（A₂）=0.0375×4=0.15，
∵每天的用水量相互獨(dú)立，
∴P（B）=0.3×0.3×0.15×2=0.027．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率分別為：
P（X=0）=${C}_{2}^{0}（1-0.3）^{3}$=0.343，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}•0.3•（1-0.3）^{2}$=0.441，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}•0．{3}^{2}•（1-0.3）$=0.189，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}•0．{3}^{3}$=0.027，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

∴E（X）=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．
（或∵X～B（3，0.3），∴E（X）=3×0.3=0.9）．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．