Question

8．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為4+2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在曲線C上，且異于點(diǎn)A、B，直線AP，BP與直線l：y=-2分別交于點(diǎn)M，N．
（1）設(shè)直線AP，BP的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁k₂為定值；
（2）求線段MN長的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為4+2$\sqrt{3}$，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）（1）由題意，A（0，1），B（0，-1），令P（x₀，y₀），則x₀≠0，直線AP的斜率k₁=$\frac{y0-1}{x0}$，BP的斜率k₂=$\frac{y0+1}{x0}$．由點(diǎn)P在橢圓上能證明k₁k₂為定值．
（2）由題設(shè)可以得到直線AP的方程為y-1=k₁（x-0），直線BP的方程為y-（-1）=k₂（x-0），求出直線AP與直線l的交點(diǎn)M，直線BP與直線l的交點(diǎn)N，由此能求出線段MN長的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為4+2$\sqrt{3}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a+2c=4+2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$…（4分）
證明：（Ⅱ）（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，
∴由題意，A（0，1），B（0，-1），令P（x₀，y₀），則x₀≠0，
∴直線AP的斜率k₁=$\frac{y0-1}{x0}$，BP的斜率k₂=$\frac{y0+1}{x0}$．
又點(diǎn)P在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}$=1（x₀≠0），
從而有k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-1}{{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}-1}{{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$．
即k₁k₂為定值． …（7分）
解：（2）由題設(shè)可以得到直線AP的方程為y-1=k₁（x-0），
直線BP的方程為y-（-1）=k₂（x-0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-1={k}_{1}x}\\{y=-2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{{k}_{1}}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y+1=kx}\\{x=-2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{{k}_{2}}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴直線AP與直線l的交點(diǎn)M（-$\frac{3}{{k}_{1}}$，-2），
直線BP與直線l的交點(diǎn)N（-$\frac{1}{{k}_{2}}$，-2）．
又k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，
∴|MN|=|-$\frac{3}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}$|=|$\frac{3}{{k}_{1}}+4{k}_{1}$|=|$\frac{3}{{k}_{1}}$|+|4k₁|
≥2$\sqrt{|\frac{3}{{k}_{1}}|•4{k}_{1}}$=4$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)|$\frac{3}{{k}_{1}}$|=|4k₁|，即k₁=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)等號(hào)成立，
故線段MN長的最小值是4$\sqrt{3}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線斜率乘積的最小值的求法，考查線段長的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．