Question

7．已知：函數(shù)$f（x）=x+\frac{m}{x}$，且f（1）=0
（1）求m的值和函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并說明理由；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程關(guān)系即可求m的值和函數(shù)f（x）的定義域；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并說明理由；
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵f（1）=0
∴f（1）=1+m=0，
則m=-1，此時f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
要使函數(shù)有意義，則x≠0，
即函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）∵函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）；
∴定義域關(guān)于原點對稱，
則f（-x）=-x+$\frac{1}{x}$=-（x-$\frac{1}{x}$）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增，
設(shè)0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．