Question

3．在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是矩形，
（1）若E，F(xiàn)分別為OC，BD中點(diǎn)，求證：EF∥平面OAD；
（2）若側(cè)面OAD⊥底面ABCD．
（i）求證：OA⊥CD；
（ii）若OA=OD=$\sqrt{2}$，AD=2，求證：平面OAB⊥平面OCD．

Answer 1

分析 （1）要證EF∥平面OAD，只需證明EF平行于平面OAD內(nèi)的一條直線即可，而E、F分別為OC、BD的中點(diǎn)，所以連接AC，EF為中位線，從而得證；
（2）（i）利用側(cè)面OAD⊥底面ABCD，證明CD⊥側(cè)面OAD，即可證明OA⊥CD；
（ii）證明OA⊥OD，利用OA⊥CD，OD∩CD=D，證明OA⊥平面OCD，即可證明平面OAB⊥平面OCD．

解答 證明：（1）連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，
在△COA中，EF∥OA，
且OA?平面OAD，EF?平面OAD，
∴EF∥平面OAD；
（2）（i）∵側(cè)面OAD⊥底面ABCD，側(cè)面OAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥側(cè)面OAD，
∵OA?側(cè)面OAD，
∴OA⊥CD；
（ii）∵OA=OD=$\sqrt{2}$，AD=2，
∴OA⊥OD，
∵OA⊥CD，OD∩CD=D，
∴OA⊥平面OCD，
∵OA?平面OAB，
∴平面OAB⊥平面OCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定及線面垂直、面面垂直的判定，而其中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用值得注意，將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為線線垂直，在證明線線垂直時(shí)，往往還要通過(guò)線面垂直來(lái)進(jìn)行．