Question

11．平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=3，則|$\overrightarrow{a}$|的最大值是4．

Answer 1

分析 可設向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為θ，從而由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=4$便可得出0＜cosθ≤1，$|\overrightarrow|=\frac{4}{|\overrightarrow{a}|cosθ}$①，而對$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=3$兩邊平方即可得到${\overrightarrow{a}}^{2}-17+{\overrightarrow}^{2}=0$，帶入①并整理便可得到$|\overrightarrow{a}{|}^{4}-17|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\frac{16}{co{s}^{2}θ}=1$，由于是求$|\overrightarrow{a}|$的最大值，從而由一元二次方程的求根公式即可得出$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=$\frac{17+\sqrt{1{7}^{2}-\frac{64}{co{s}^{2}θ}}}{2}$，從而看出cosθ=1時，$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$取到最大值16，從而便可得出$|\overrightarrow{a}|$的最大值．

解答 解：設向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為θ；
由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=4$得，$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ=4$；
∴0＜cosθ≤1，且$|\overrightarrow|=\frac{4}{|\overrightarrow{a}|cosθ}$①；
對$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=3$兩邊平方得，${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-8+{\overrightarrow}^{2}=9$；
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-17+|\overrightarrow{|}^{2}=0$，帶入①并整理得：
$|\overrightarrow{a}{|}^{4}-17|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\frac{16}{co{s}^{2}θ}=1$；
∵要求$|\overrightarrow{a}|$的最大值，∴解得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=\frac{17+\sqrt{1{7}^{2}-\frac{64}{co{s}^{2}θ}}}{2}$；
∵0＜cos²θ≤1；
∴cos²θ=1時，$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$取最大值16；
∴$|\overrightarrow{a}|$的最大值為4．
故答案為：4．

點評 考查向量夾角的概念及范圍，以及余弦函數(shù)的值域，向量數(shù)量積的運算及計算公式，一元二次方程的求根公式，以及根據(jù)函數(shù)解析式求最值的方法，反比例函數(shù)的單調性．