Question

17．設(shè)A、B是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點(diǎn)，滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．求證：?
（1）A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為4p²；?
（2）直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．?

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入拋物線方程，通過OA⊥OB，推出y₁y₂=-4p²，從而證明結(jié)果．
（2）利用平方差法求出直線的斜率，求出直線方程利用直線系，判斷直線AB經(jīng)過定點(diǎn)．

解答 證明：（1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則?y₁²=2px₁、y₂²=2px₂．
∵OA⊥OB，?∴x₁x₂+y₁y₂=0，?y₁²y₂²=4p²x₁x₂=4p²•（-y₁y₂）．
∴y₁y₂=-4p²，從而x₁x₂=4p²也為定值．?
（2）∵y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂），?∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$．
∴直線AB的方程為y-y₁=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x-x₁），
即y=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$x-$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$•$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$+y₁，
y=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$x+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
亦即y=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x-2p）．
∴直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（2p，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，平方差法的應(yīng)用．