Question

1．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示：
（1）求a，b的值并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)y=f（x）有三個零點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的圖象可知，f'（x）=0的兩個根為-1，2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出a，b的值，并由圖象得到單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值，由函數(shù)f（x）恰有三個零點，則函數(shù)的極大值大于0，且同時滿足極小值小于0，聯(lián)立可求c的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=x²+2ax+b，
∵f′（x）=0的兩個根為-1，2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+2=-2a}\\{-1×2=b}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{1}{2}$，b=-2，
由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)-1＜x＜2時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜-1或x＞2時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，2）上單調(diào)遞減．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，2）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的極大值為f（-1）=$\frac{7}{6}$+c，極小值為f（2）=c-$\frac{10}{3}$．
而函數(shù)f（x）恰有三個零點，故必有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{6}+c＞0}\\{c-\frac{10}{3}＜0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{7}{6}$＜c＜$\frac{10}{3}$．
∴使函數(shù)f（x）恰有三個零點的實數(shù)c的取值范圍是（-$\frac{7}{6}$，$\frac{10}{3}$）

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算法則和導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是把函數(shù)f（x）恰有三個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值的范圍問題，此題是中檔題．