Question

5．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a₂=2，且a_n=$\frac{{{a_{n+1}}+{a_{n-1}}}}{2}$-1（n≥2）．?dāng)?shù)列{b_n}中，b_n=a_n+1-a_n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足：c_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和S_n，求滿足S_n≤$\frac{2015}{2016}$的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)列遞推式求得首項(xiàng)，取n=n-1得另一遞推式，作差后可得數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，由次得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用累加法即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，列出不等式解得即可．

解答 解：（I） 當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1=（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=a_n+1-2a_n+a_n-1=2，
且b₁=a₂-a₁=2-0=2
∴數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列
∴b_n=2+2（n-1）=2n，即a_n+1-a_n=2n，
則a_n-a_n-1=2（n-1），a_n-1-a_n-2=2（n-2），…，a₃-a₂=2•2，a₂-a₁=2•1
各式左右各自疊加，得a_n-a₁=2[1+2+…+（n-2）+（n-1）]=n（n-1）
即a_n=n（n-1）（n≥2），且a₁=0符合上式，故a_n=n（n-1）
（II）${c_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n-1+c_n=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$
∵${S_n}≤\frac{2015}{2016}$，
∴$1-\frac{1}{n+1}≤\frac{2015}{2016}$，得n≤2015，
∴滿足${S_n}≤\frac{2015}{2016}$的最大正整數(shù)n的值為2015

點(diǎn)評 本題考查了等比關(guān)系的確定，累加法求通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和及簡單不等式的解法，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．