Question

【題目】若、均為非零整數(shù)，且滿足方程，則稱為方程的非零整數(shù)解.下列關(guān)于本方程非零整數(shù)解的判斷中，為真命題的是（ ）

A. 非零整數(shù)解不存在

B. 存在有限個(gè)非零整數(shù)解

C. 存在無限個(gè)非零整數(shù)解，不在一、三象限

D. 存在無限個(gè)非零整數(shù)解，不在二、四象限

Answer 1

【答案】D

【解析】

從最簡單情況開始找非零整數(shù)解.顯然，時(shí)，是一個(gè)整數(shù)解.

把代入，得解，.顯然，也是一個(gè)解.

再把代入，又可得兩個(gè)解，.顯然，也是一個(gè)解.

再把代入，又可得一個(gè)解.

一般地，得出非零整數(shù)解（記）時(shí)，必有

. ①

從而，. ②

否則，，有.

由①得，矛盾.

若解在一、三象限.并且由于①表明是二次方程的一個(gè)整數(shù)解，必有另一個(gè)解，一方面滿足②，另一方面滿足韋達(dá)定理，

， ③

. ④

由④知為整數(shù)，且由知.又由③知是正整數(shù)，故是一個(gè)新的非零整數(shù)解，位于一、三象限.以此類推，方程的非零整數(shù)解有無限多個(gè)，位于一、三象限，當(dāng)然不在二、四象限.應(yīng)選D..