Question

【題目】求證 ：直角坐標(biāo)平面上的格點(diǎn)凸七邊形（每個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)———縱 、橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的內(nèi)部最少包含四個(gè)格點(diǎn).

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

首先，不妨設(shè)格點(diǎn)凸七邊形的各邊的內(nèi)部都沒(méi)有格點(diǎn)（否則，如的內(nèi)部有一個(gè)格點(diǎn)，則用七邊形代替原來(lái)的七邊形，由于格點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，故這種過(guò)程一定會(huì)在某一步終止）.

其次，任何五個(gè)格點(diǎn)或五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)按奇偶性分類(lèi)，至多有四類(lèi)：（奇，奇），（偶，偶），（奇，偶），（偶，奇），因而，必有五個(gè)頂點(diǎn)中的某兩個(gè)點(diǎn)屬于同一類(lèi)，這兩點(diǎn)的中點(diǎn)也是格點(diǎn)，且點(diǎn)M在凸七邊形的內(nèi)部.

考慮這五個(gè)格點(diǎn)，其中某兩點(diǎn)的中點(diǎn)也是格點(diǎn)，且點(diǎn)在七邊形的內(nèi)部.

同理，由格點(diǎn)五邊形（若為的中點(diǎn)，則取格點(diǎn)五邊形）可確定另一個(gè)格點(diǎn)也在七邊形的內(nèi)部，如圖所示.

直線將平面分為兩部分，其中必有某一側(cè)至少含有格點(diǎn)凸七邊形的三個(gè)頂點(diǎn).不妨設(shè)在的同一側(cè)，則由凸五邊形可知，七邊形的內(nèi)部還有第三個(gè)格點(diǎn).

（1）若的另一側(cè)也含有七邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，同理可得第四個(gè)格點(diǎn).

（2）若的另一側(cè)至多含兩個(gè)頂點(diǎn)和，則、在直線上或與在的同一側(cè)，這時(shí)，又有兩種情況：

（ⅰ）若點(diǎn)不在內(nèi)，則、、、、組成凸五邊形，又可得到一個(gè)格點(diǎn)（第四個(gè)）；

（ⅱ）若點(diǎn)在內(nèi)（或邊上），則、、、、組成凸（非凹）五邊形，可得到第四個(gè)格點(diǎn)（注：若、在同一側(cè)，、與、、在同側(cè)，則考慮五邊形）.

另一方面，容易舉出一個(gè)例子，使得七邊形的內(nèi)部恰有四個(gè)格點(diǎn).