Question

2．已知{a_n}的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和S_n滿足${S_n}={（\frac{{{a_n}+1}}{2}）^2}$，設(shè)b_n=10-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的最大值；
（Ⅲ）求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和H_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=1時，求出a₁=1，當(dāng)n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={（\frac{{{a_n}+1}}{2}）^2}-{（\frac{{{a_{n-1}}+1}}{2}）^2}$，從而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正數(shù)，能證明數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，并能求出a_n．
（Ⅱ）由b_n=10-a_n=11-2n，推導(dǎo)出數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為9、公差為-2的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，并求出當(dāng)n=5時，T_n取得最大值25．
（Ⅲ）令b_n=11-2n＞0，得$n＜\frac{11}{2}$，即數(shù)列{b_n}的前5項(xiàng)為正數(shù)，從第6項(xiàng)開始都為負(fù)數(shù)．當(dāng)n≤5時，H_n=T_n=n（10-n），當(dāng)n≥6時，H_n=$2{T_5}-{T_n}=2×25-n（{10-n}）={n^2}-10n+50$，由此能求出數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和．

解答 （本題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵{a_n}的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和S_n滿足${S_n}={（\frac{{{a_n}+1}}{2}）^2}$，
∴當(dāng)n=1時，${a_1}={S_1}={（\frac{{{a_1}+1}}{2}）^2}$，解得a₁=1；
當(dāng)n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={（\frac{{{a_n}+1}}{2}）^2}-{（\frac{{{a_{n-1}}+1}}{2}）^2}$，
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正數(shù)，∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2（其中n∈N^*，n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，且a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．…（4分）
解：（Ⅱ）∵b_n=10-a_n=11-2n，
∴b₁=9，b_n+1-b_n=11-2（n+1）-（11-2n）=-2，
即數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為9、公差為-2的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${T_n}=\frac{{n（{9+11-2n}）}}{2}=n（{10-n}）$=10n-n²=-（n-5）²+25，
∴當(dāng)n=5時，T_n取得最大值25．…（7分）
（Ⅲ）令b_n=11-2n＞0，得$n＜\frac{11}{2}$，
即數(shù)列{b_n}的前5項(xiàng)為正數(shù)，從第6項(xiàng)開始都為負(fù)數(shù)．
①當(dāng)n≤5時，H_n=T_n=n（10-n），
②當(dāng)n≥6時，H_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅-b₆-…-b_n
=2（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅）-（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆+…+b_n）
=$2{T_5}-{T_n}=2×25-n（{10-n}）={n^2}-10n+50$，
∴數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和${H_n}=\left\{\begin{array}{l}n（{10-n}），n≤5\\{n^2}-10n+50，n≥6.\end{array}\right.$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對值的和的求法，考查等比數(shù)列、錯位相減法等等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．