Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足${S_n}=2{a_n}-{2^{n+1}}+n（n∈{N^*}）$．
（1）求a₂，a₃；
（2）是否存在實數(shù)λ，使數(shù)列$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$為等差數(shù)列，若存在，求出請求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件可以推知${a_n}=2{a_{n-1}}+{2^n}-1（n≥2）$，代入求值即可；
（2）通過假設(shè)數(shù)列{a_n}可能為等差數(shù)列，利用該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列得出關(guān)于λ的方程，進(jìn)而確定出λ的值，驗證數(shù)列后面的項是否滿足等差數(shù)列即可．

解答 解：（1）∵${S_n}=2{a_n}-{2^{n+1}}+n$，
∴${S_{n-1}}=2{a_{n-1}}-{2^n}+n-1（n≥2）$，
從而 ${a_n}=2{a_n}-2{a_{n-1}}-{2^n}+1$，即：${a_n}=2{a_{n-1}}+{2^n}-1（n≥2）$．
可得a₁=3，${a_2}=2{a_1}+{2^2}-1⇒{a_2}=9$，${a_3}=2{a_2}+{2^3}-1⇒{a_3}=25$．
（2）若$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$為等差數(shù)列，
則$\frac{{{a_1}+λ}}{{{2^{\;}}}}+\frac{{{a_3}+λ}}{2^3}=2（\frac{{{a_2}+λ}}{2^2}）$，$\frac{3+λ}{{{2^{\;}}}}+\frac{25+λ}{8}=\frac{9+λ}{{{2^{\;}}}}$，λ=-1．
當(dāng)λ=-1時，$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}=\frac{{2{a_{n-1}}+{2^n}-2}}{2^n}=\frac{{{a_{n-1}}-1}}{{{2^{n-1}}}}+1$．
即：$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}-\frac{{{a_{n-1}}-1}}{{{2^{n-1}}}}=1$，數(shù)列$\{\frac{{{a_n}-1}}{2^n}\}$為等差數(shù)列．
∴存在實數(shù)λ=-1，使數(shù)列$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$為等差數(shù)列．

點評 考查數(shù)列為等差數(shù)列的判定方法、探究性問題的解決思路，考查學(xué)生解決問題的方程思想、確定一個命題為假命題的方法，關(guān)鍵要進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．