Question

1．對于直線l₁：A₁x+B₁y+C₁=0和l₂：A₂x+B₂y+C₂=0，下列兩個命題中是真命題的為①．
①“A₁A₂+B₁B₂=0”是“l(fā)₁⊥l₂”充要條件；
②“（-$\frac{{A}_{1}}{{B}_{1}}$）•（-$\frac{{A}_{2}}{{B}_{2}}$）=-1”是“l(fā)₁⊥l₂”充要條件；
③“A₁B₂-A₂B₁=0”是“l(fā)₁∥l₂”的充要條件；
④“-$\frac{{A}_{1}}{{B}_{1}}$=-$\frac{{A}_{2}}{{B}_{2}}$”是“l(fā)₁∥l₂”的充要條件．

Answer 1

分析 分別根據(jù)直線的平行和垂直判斷即可．

解答 解：直線A₁x+B₁y+C₁=0的方向向量為（-B₁，A₁），
直線A₂x+B₂y+C₂=0的方向向量為（-B₂，A₂），
兩條直線A₁x+B₁y+C₁=0，A₂x+B₂y+C₂=0垂直，
就是兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，
即：（-B₁，A₁）（-B₂，A₂）=0，
可得A₁A₂+B₁B₂=0，
故①正確，②錯誤；
若A₁B₂-A₂B₁=0，不妨設(shè)A₁=0，B₁=1，A₂=0，B₂=1，C₁=C₂，此時兩直線重合，所以不充分．
若l₁∥l₂，則必有A₁B₂-A₂B₁=0成立．
所以“A₁B₂-A₂B₁=0”是“l(fā)₁∥l₂”的必要不充分條件，故③錯誤；
當(dāng)“-$\frac{{A}_{1}}{{B}_{1}}$=-$\frac{{A}_{2}}{{B}_{2}}$”時，兩直線可能平行，也可能重合，故充分性不成立．
當(dāng)l₁∥l₂時，B₁與B₂可能都等于0，故“-$\frac{{A}_{1}}{{B}_{1}}$=-$\frac{{A}_{2}}{{B}_{2}}$”不一定成立，故必要性不成立．
綜上，“-$\frac{{A}_{1}}{{B}_{1}}$=-$\frac{{A}_{2}}{{B}_{2}}$”是l₁∥l₂的既非充分又非必要條件，
故④錯誤；
故答案為：①．

點評 本題考查充分條件和必要條件的判斷，要求掌握判斷充分條件和必要條件的方法：
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．