Question

11．已知a，b＞0，且滿足a+4b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為n，則二項(xiàng)式（x-$\frac{1}{{2\sqrt{x}}}$）ⁿ的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（　　）

• A． $\frac{8}{9}$
• B． -$\frac{6}{7}$
• C． $\frac{21}{16}$
• D． $\frac{22}{31}$

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質(zhì)可得n=9，再利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{a+4b}{a}+\frac{a+4b}=5+\frac{4b}{a}+\frac{a}≥5+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}=9$，當(dāng)且僅當(dāng)a=4b時(shí)，取等號(hào)，
${（x-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}={（x-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^9}$的展開式的通項(xiàng)為${T_{r+1}}=C_9^r{x^{9-r}}{（-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^r}=C_9^r{（-\frac{1}{2}）^r}{x^{9-\frac{3}{2}r}}（r=0，1，2，…，9）$，
令$9-\frac{3}{2}r=0，r=6$，
∴常數(shù)項(xiàng)為$C_9^6{（-\frac{1}{2}）^6}=\frac{21}{16}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．