Question

（2009•寶山區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，3a_n+1+4S_n=3（n為正整數(shù)）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記S=a₁+a₂+…+a_n+…，若對(duì)任意正整數(shù)n，kS＜S_n恒成立，求k的取值范圍？
（3）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x，a＞0}，若以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列前n項(xiàng)和記為T_n，問是否存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)于任意的n∈N^*，均有T_n∈A．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）3a_n+1+4s_n=3，3a_n+4s_n-1=3，兩式相減，得3a_n+1-3a_n+4（S_n-S_n-1）=0，由此能求出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）將k進(jìn)行分離，然后討論n的奇偶，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可求函數(shù)的最值，由此能求出k的最大值．
（3）討論a與1的大小，求出集合A，當(dāng)a≥1時(shí)，T₂=a+a²，T₂∈A，可求出a，當(dāng)0＜a＜1時(shí)求出T_n的范圍，對(duì)任意的n∈N^*，要使T_n∈A，建立關(guān)于a的不等關(guān)系，解之即可．

解答：解：（1）由題意知，當(dāng)n≥2時(shí)，

3an+1+4Sn=3 3an+4Sn-1=3

兩式相減變形得：

an+1

an

=-

1

3

(n≥2)
又n=1時(shí)，a2=-

1

3

，于是  

a2

a1

=-

1

3

…（1分）
故 {a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，公比q=-

1

3

的等比數(shù)列∴an=

1

(-3)n-1

，(n∈N*)…（4分）
（2）由S=

1

1+ 1 3

=

3

4

得 k＜

4

3

Sn=1-

1

(-3)n

=f（n）…（5分）
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，f（n）是n的增函數(shù)，于是f(n)min=f(2)=

8

9

，故k＜

8

9

…（7分）
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，f（n）是n的減函數(shù)，因?yàn)?span id="bzcztt4" class="MathJye">

lim

n→∞

f(n)=1，故k≤1．…（9分）
綜上所述，k的取值范圍是(-∞，

8

9

)…（10分）
（3）①當(dāng)a≥1時(shí)，A={x|1≤x≤a}，T₂=a+a²，若T₂∈A，則1≤a+a²≤a．得

a2+a-1≥0 a2≤0 a≥1

此不等式組的解集為空集．
即當(dāng)a≥1時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a．…（13分）
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，A={x|a≤x≤1}．
而Tn=a+a2+…+an=

a

1-a

(1-an)是關(guān)于n的增函數(shù)．
且

lim

n→∞

Tn=

a

1-a

，故Tn∈[a，

a

1-a

)．…（15分）
因此對(duì)任意的n∈N^*，要使T_n∈A，只需

0＜a＜1 a 1-a ≤1

解得0＜a≤

1

2

．…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意不等式和數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．