Question

13．已知正四面體的棱長為a，求它外接球的體積及內(nèi)切球的半徑．

Answer 1

分析 畫出圖形，確定兩個球的關(guān)系，通過正四面體的體積，求出兩個球的半徑的比值，即可求棱長為a的正四面體的外接球、內(nèi)切球的半徑及外接球的體積．

解答 解：設(shè)正四面體為PABC，兩球球心重合，設(shè)為O．
設(shè)PO的延長線與底面ABC的交點為D，則PD為正四面體PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面體PABC內(nèi)切球的高．
設(shè)正四面體PABC底面面積為S．
將球心O與四面體的4個頂點PABC全部連接，
可以得到4個全等的正三棱錐，球心為頂點，以正四面體面為底面．
每個正三棱錐體積V₁=$\frac{1}{3}$•S•r 而正四面體PABC體積V₂=$\frac{1}{3}$•S•（R+r）
根據(jù)前面的分析，4•V₁=V₂，
所以，4•$\frac{1}{3}$•S•r=$\frac{1}{3}$••（R+r），
所以，R=3r，
因為棱長為a，所以AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
所以PD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
所以R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a．外接球的體積V=$\frac{4π}{3}•（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{3}$a³=$\frac{\sqrt{6}}{8}π$a³．

點評 本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑，找出兩個球的球心重合，半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計算能力．