Question

二階矩陣M對應的變換T_M將曲線x²+x-y+1=0變?yōu)榍�線2y²-x+2=0．求M^-1．

Answer 1

考點：幾種特殊的矩陣變換

專題：矩陣和變換

分析：本題由二階矩陣M對應的變換T_M將曲線x²+x-y+1=0變?yōu)榍�線2y²-x+2=0，可知矩陣M^-1對應的變換T M-1將曲線2y²-x+2=0變?yōu)榍�線x²+x-y+1=0，用待定系數(shù)法設出矩陣M^-1，可知曲線2y²-x+2=0上任取一點P（x，y）與曲線x²+x-y+1=0上的點為P′（x′，y′）的坐標關系，代入曲線方程，得到兩個關于x，y的方程組，比較系數(shù)，得到相應參數(shù)的方程組，解方程組求出參數(shù)的值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵二階矩陣M對應的變換T_M將曲線x²+x-y+1=0變?yōu)榍�線2y²-x+2=0，
∴二階矩陣M^-1對應的變換T M-1將曲線2y²-x+2=0變?yōu)榍�線x²+x-y+1=0．
設M^-1=

a b c d

，
在曲線2y²-x+2=0上任取一點P（x，y），
點P在矩陣變換T M-1作用下，對應曲線x²+x-y+1=0上的點為P′（x′，y′），
則有

a b c d

•

x y

=

x′ y′

，
即

x′=ax+by y′=cx+dy

，
∵P′（x′，y′）在曲線x²+x-y+1=0上，
∴x^′2+x′-y′+1=0，
∴（ax+by）²+（ax+by）-（cx+dy）+1=0，
∴a²x²+2abxy+b²y²+（a-c）x+（b-d）y+1=0，①
∵2y²-x+2=0，
∴y2-

1

2

x+1=0．②
由①②知：a²=0，2ab=0，b²=1，a-c=-

1

2

，b-d=0．
∴

a=0 b=1 c= 1 2 d=1

或

a=0 b=-1 c= 1 2 d=-1

，
∴M^-1=

0 1 1 2 1

或M^-1=

0 -1 1 2 -1

．

點評：本題考查了矩陣變換與曲線方程的關系，本題難度不大，屬于基礎題．