Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$．
（Ⅰ） 求f （x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f （x） 在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，求解f（x），將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）x在[0，$\frac{π}{2}$]上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，

解答 解：（Ⅰ）由題意：函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x$-\frac{π}{6}$）．
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
所以函數(shù)f（x）最小正周期為：π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）．
x在[0，$\frac{π}{2}$]上時(shí)，則（2x$-\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：
當(dāng)（2x$-\frac{π}{6}$）=$-\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為：$-\frac{1}{2}$；
當(dāng)（2x$-\frac{π}{6}$）=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為：1．
所以，f （x） 在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分別為：1，$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．