Question

6．已知函數f（x）=|x|•（a-x），a∈R．
（Ⅰ）當a=4時，畫出函數f（x）的圖象，并寫出其單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，當實數c分別取何值時集合{x|f（x）=c}內的元素個數恰有一個、恰有兩個、恰有三個？

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡f（x）=|x|•（4-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x＜0}\\{-{x}^{2}+4x，x≥0}\end{array}\right.$，從而結合二次函數的圖象作圖，從而寫出單調區(qū)間；
（Ⅱ）化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x（a-x），x＜0}\\{x（a-x），x≥0}\end{array}\right.$，從而確定函數的單調性及極值，從而討論元素的個數即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=4時，f（x）=|x|•（4-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x＜0}\\{-{x}^{2}+4x，x≥0}\end{array}\right.$，
作f（x）的圖象如圖，
其單調遞增區(qū)間為[0，2]；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x（a-x），x＜0}\\{x（a-x），x≥0}\end{array}\right.$，
結合二次函數可知，
f（x）在（-∞，0]上是減函數，在（0，$\frac{a}{2}$）上是增函數，
在[$\frac{a}{2}$，+∞）上是減函數；
而f（0）=0，f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
故當c∈（-∞，0）∪（$\frac{{a}^{2}}{4}$，+∞）時，集合{x|f（x）=c}內的元素個數恰有一個，
當c=0或$\frac{{a}^{2}}{4}$時，集合{x|f（x）=c}內的元素個數恰有二個，
當c∈（0，$\frac{{a}^{2}}{4}$）時，集合{x|f（x）=c}內的元素個數恰有三個．

點評 本題考查了學生的作圖能力及數形結合的思想應用，同時考查了方程的根與圖象的交點的關系應用．