Question

8．如圖，在一條景觀道的一端有一個半徑為50米的圓形摩天輪O，逆時針15分鐘轉(zhuǎn)一圈，從A處進(jìn)入摩天輪的座艙，OA垂直于地面AM，在距離A處150米處設(shè)置了一個望遠(yuǎn)鏡B．
（1）同學(xué)甲打算獨(dú)自乘坐摩天輪，但是其母親不放心，于是約定在登上摩天輪座艙5分鐘后，在座艙內(nèi)向其母親揮手致意，而其母親則在望遠(yuǎn)鏡B中仔細(xì)觀看．問望遠(yuǎn)鏡B的仰角θ應(yīng)調(diào)整為多少度？（精確到1度）
（2）在同學(xué)甲向其母親揮手致意的同時，同一座艙的另一名乘客乙在拍攝地面上的一條綠化帶BD，發(fā)現(xiàn)取景的視角α恰為45°，求綠化帶BD的長度（精確到1米）．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)槟μ燧喿鰟蛩俎D(zhuǎn)動，逆時針15分鐘轉(zhuǎn)一圈，可得5分鐘轉(zhuǎn)過120°，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，利用解三角形可得望遠(yuǎn)鏡B的仰角θ；
（2）由題意可求CD，利用正弦定理即可解得BD的長度．

解答 （本題（14分），第1小題（8分），第2小題6分）
解：（1）∵逆時針15分鐘轉(zhuǎn)一圈，
∴5分鐘轉(zhuǎn)過120°（2分）
過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
則CH=50+50•sin（120°-90°）=75（2分）
$BH=150-50•cos（{120°-90°}）=150-25\sqrt{3}$（2分）
∴$tanθ=\frac{CH}{BH}=\frac{75}{{150-25\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}-1}}=\frac{{6+\sqrt{3}}}{11}$，
∴$θ=arctan\frac{{6+\sqrt{3}}}{11}≈35°$（2分）
答：望遠(yuǎn)鏡的仰角θ設(shè)置為35°
（2）在△BCD中，θ=35°，α=45°，
∴∠CDH=80°（2分）
∴$CD=\frac{CH}{sin80°}=\frac{75}{sin80°}$
由正弦定理得：$\frac{BD}{sinα}=\frac{CD}{sinθ}$（2分）
∴$BD=\frac{CD•sinα}{sinθ}=\frac{75•sin45°}{sin80°•sin35°}≈94$（2分）
答：綠化帶的長度為94米．

點(diǎn)評 本題考查了已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，解答本題的關(guān)鍵是作出正確的示意圖，然后再由三角形中的相關(guān)知識進(jìn)行求解，解題時要注意綜合利用所學(xué)知識與題中的條件，求解三角形的邊與角，是中檔題．