Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，P（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，1）為橢圓C上的點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+b（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線過定點(diǎn)M（$\frac{1}{6}$，0），求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和P的坐標(biāo)滿足橢圓方程，以及a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，求得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，求得AB的垂直平分線方程，代入中點(diǎn)坐標(biāo)，化簡整理，可得k的不等式，解不等式即可得到所求k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{8}{3{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y，
得（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
依題意△=（8kb）²-4（3+4k²）（4b²-12）＞0，
即b²＜3+4k²，
而x₁+x₂=-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=$\frac{6b}{3+4{k}^{2}}$，
所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{4kb}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3b}{3+4{k}^{2}}$）．
因?yàn)榫�段AB的垂直平分線的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{6}$）．
所以（-$\frac{4kb}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3b}{3+4{k}^{2}}$）在直線y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{6}$）上，
即$\frac{3b}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{4kb}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{1}{6}$）．
則有b=-$\frac{1}{6k}$（3+4k²），
所以$\frac{（3+4{k}^{2}）^{2}}{36{k}^{2}}$＜3+4k²，
故k²＞$\frac{3}{32}$．解得k＜-$\frac{\sqrt{6}}{8}$或k＞$\frac{\sqrt{6}}{8}$．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{8}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{8}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線的斜率的取值范圍，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．