Question

【題目】如圖所示，將一塊直角三角形板置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)是三角板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角板中，陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點(diǎn)的任一直線將三角板鋸成，設(shè)直線的斜率為.

（1）用表示出直線的方程，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求出的取值范圍及其所對(duì)應(yīng)的傾斜角的范圍；

（3）求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）MN方程為：，，；（2），；（3）

【解析】

（1）先利用點(diǎn)斜式得出直線的方程，再得直線OA方程為：y＝x ，直線AB方程為：x＝1，分別與直線MN的方程聯(lián)立即可得出；

（2）

（3）利用三角形的面積計(jì)算公式可得S△AMN，通過換元利用導(dǎo)數(shù)即可得出其單調(diào)性最值，進(jìn)而得出區(qū)間D；

（1）依題意，得MN方程為：，即，

∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直線OA方程為：y＝x ，直線AB方程為：x＝1，

聯(lián)立 ，得．

聯(lián)立，得.

（2）由（1）知：，∴k＞1或k≤，且，得k≥，∴．

∵直線的傾斜角，且，∴.

（3）在中，由（2）知：

S△AMN＝＝．

設(shè)，設(shè)．∵，

∴f（t）在是單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)1﹣k＝時(shí)即k＝時(shí)，（S△）max＝

當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)1﹣k＝時(shí)即k＝時(shí)，（S△）min＝，

面積的取值范圍.