Question

【題目】設(shè)橢圓，B為橢圓上任一點，F為橢圓左焦點，已知的最小值與最大值之和為4，且離心率，拋物線的通徑為4．

求橢圓和拋物線的方程；

設(shè)坐標(biāo)原點為O，A為直線與已知拋物線在第一象限內(nèi)的交點，且有．

試用k表示A，B兩點坐標(biāo)；

是否存在過A，B兩點的直線l，使得線段AB的中點在y軸上？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程為，拋物線方程為；（2）①，，；②不存在.

【解析】

根據(jù)|的最小值與最大值之和為4，可求出a=2，再根據(jù)離心率求出c，再求得，則橢圓方程可得，根據(jù)拋物線的通徑為4，可得，即可求出拋物線方程，設(shè)直線OA方程為，與拋物線方程聯(lián)立，解得即可求出點A的坐標(biāo)，根據(jù)設(shè)直線OB方程為，將直線OB與橢圓聯(lián)立，解得即可求出點B的坐標(biāo)，

根據(jù)的結(jié)論，利用線段AB的中點在y軸上，若求出k的值，在存在，否則不存在

解：為橢圓上任一點，F為橢圓左焦點，的最小值與最大值之和為4，

，，，，

橢圓方程為，拋物線的通徑為4，，

拋物線的方程為．

設(shè)直線OA方程為，顯然，將直線OA與拋物線聯(lián)立：得，，，，，

設(shè)直線OB方程為，將直線OB與橢圓聯(lián)立：得，

當(dāng)時，，，，，

當(dāng)時，，，，，

綜上，，，

當(dāng)時，，

的中點在y軸上

，即，此時方程無解，

當(dāng)時，，

，即，此時方程無解，

綜上可知，不存在這樣的直線l，使得AB的中點在y軸上．