Question

15．已知正項數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$．
（Ⅰ）求通項a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），求b_n的最小值及此時n的值．

Answer 1

分析 （I）由正項數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$．兩邊取倒數(shù)，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）數(shù)列{b_n}滿足b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），可得b_n=$2n（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）∵正項數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{3}+\frac{1}{{a}_{n}}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}$．
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項與公差都為$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{3}+\frac{2}{3}$（n-1），
解得a_n=$\frac{3}{2n}$．
（II）∵數(shù)列{b_n}滿足b_n•a_n=3（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∴b_n=$2n（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
可知：數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，
∴當n=1時，b_n取得最小值，b₁=0．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、遞推關系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．