Question

已知數(shù)列{a_n}對(duì)任意的正整數(shù)n都有a_n-2a_n+1=0，a₁=2，數(shù)列{b_n}滿足對(duì)任意正整數(shù)n，b_n是a_n和a_n+1的等差中項(xiàng)，則數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和為

3069

1024

．

Answer 1

分析：由條件可得數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)、以

1

2

為公比的等比數(shù)列，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再由b_n是a_n和a_n+1的等差中項(xiàng)
可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和．

解答：解：∵數(shù)列{a_n}對(duì)任意的正整數(shù)n都有a_n-2a_n+1=0，a₁=2，
故

an+1

an

=

1

2

，故數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)、以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴a_n =2×(

1

2

)n-1=

4

2n

．
b_n是a_n和a_n+1的等差中項(xiàng)，故 b_n =

an+an+1

2

=

2

2n

+

2

2n+1

=

6

2n+1

．
則數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和為

b1(1-q10)

1-q

=

6 4 (1- 1 210 )

1- 1 2

=

3069

1024

，
故答案為

3069

1024

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差中項(xiàng)的定義，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．