Question

7．已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x²+y²=1．動點(diǎn)M到圓的切線長等于|MQ|的2倍．
（Ⅰ）求出點(diǎn)M的軌跡C₁方程．
（Ⅱ）判斷曲線C₁與圓C是否有公共點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意$\frac{{|{MP}|}}{{|{MQ}|}}=2$，則$\sqrt{{x^2}+{y^2}-1}=2\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$，整理后即可得到答案．
（Ⅱ）判斷圓心距與距離和的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）如圖所示，過點(diǎn)M的直線與圓相切于點(diǎn)P，
設(shè)M（x，y），連結(jié)OP，OM．$|{MP}|=\sqrt{{{|{OM}|}^2}-{{|{OP}|}^2}}=\sqrt{{x^2}+{y^2}-1}$，$|{MQ}|=\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$．----------------（4分）
若$\frac{{|{MP}|}}{{|{MQ}|}}=2$，則$\sqrt{{x^2}+{y^2}-1}=2\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$，∴3x²+3y²-16x+17=0．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為3x²+3y²-16x+17=0．-----------------（8分）
（Ⅱ）點(diǎn)M的軌跡方程為${x^2}+{y^2}-\frac{16}{3}x+\frac{17}{3}=0$
即圓C₁：${（{x-\frac{8}{3}}）^2}+{y^2}=\frac{13}{9}$
圓心距$d=\frac{8}{3}$，兩圓C，C₁半徑之和$r+{r_1}=1+\frac{{\sqrt{13}}}{3}$--------------------（10分）
因?yàn)?r+{r_1}=1+\frac{{\sqrt{13}}}{3}＜1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}＜\frac{8}{3}$．
所以兩圓C，C₁無公共點(diǎn)------------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓的關(guān)系，求解軌跡方程問題的關(guān)鍵步驟是列出動點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，是中檔題．