Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且λS_n=λ-a_n，其中λ≠0且λ≠-1．
（1）證明：{a_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）若${S_4}=\frac{15}{16}$，求λ．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出數(shù)列的首項(xiàng)以及數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，利用數(shù)列是等比數(shù)列，求出公比，然后求解通項(xiàng)公式．
（2）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式以及已知條件推出λ的關(guān)系式，求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，λa₁=λ-a₁，
∵λ≠0且λ≠-1，∴${a_1}=\frac{λ}{1+λ}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，λS_n-1=λ-a_n-1，λS_n=λ-a_n，
兩式相減得（1+λ）a_n=a_n-1，因?yàn)棣恕?1，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{{（{1+λ}）}}$，
因此{(lán)a_n}是首項(xiàng)為${a_1}=\frac{λ}{1+λ}$，公比為$\frac{1}{{（{1+λ}）}}$的等比數(shù)列，
∴${a_n}=\frac{λ}{1+λ}{（{\frac{λ}{1+λ}}）^{n-1}}=\frac{λ}{{{{（{1+λ}）}^n}}}$．
（2）由λS_n=λ-a_n得${S_4}=1-\frac{1}{λ}{a_4}$=$1-\frac{1}{{{{（{λ+1}）}^4}}}$
∴$1-\frac{1}{{{{（{λ+1}）}^4}}}=\frac{15}{16}$，
∴λ=1或λ=-3．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．