Question

【題目】已知為實數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，對于函數(shù)，若存在，，使得，則稱函數(shù)是“函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)，是否是“函數(shù)”；

（2）設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小正周期是，若不是“函數(shù)”，求的最小值；

（3）若函數(shù)是“函數(shù)”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是，不是；（2）1；（3），且，.

【解析】

（1）舉例說明函數(shù)是函數(shù)，證明函數(shù)不是“函數(shù)”；

（2）假設(shè)，得到矛盾，再證明得證；

（3）對分三種情況討論得解.

（1）對于函數(shù)是函數(shù)，設(shè)，

則，，

所以存在，，使得，所以函數(shù)是“函數(shù)”.

對于函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為,函數(shù)的圖象如圖所示，

不妨研究函數(shù)在[0,1]這個周期的圖象.

設(shè)，,則,

所以，

所以函數(shù)不是“函數(shù)”.

綜合得函數(shù)是“函數(shù)”，函數(shù)不是“函數(shù)”.

（2）的最小值為1．

因為是以為最小正周期的周期函數(shù)，所以．

假設(shè)，則，所以，矛盾．

所以必有.

而函數(shù)的周期為1，且顯然不是函數(shù)，

綜上所述，的最小值為1．

（3）當(dāng)函數(shù)是“函數(shù)”時，

若，則顯然不是函數(shù)，矛盾．

若，則，

所以在，上單調(diào)遞增，

此時不存在，使得，

同理不存在，使得，

又注意到，即不會出現(xiàn)的情形，

所以此時不是函數(shù)．

當(dāng)時，設(shè)，所以，

所以有，其中，

當(dāng)時，

因為，所以，

所以，

當(dāng)時，，

因為，所以，

所以，

綜上所述，，且，.