【題目】如圖，已知四邊形為菱形，且，取中點為.現(xiàn)將四邊形沿折起至，使得.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若點滿足，當(dāng)平面時，求的值.

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）只需證明，，，由線面垂直的判定定理可得證明；

（Ⅱ）以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量和平面的法向量.設(shè)二面角的大小為，可知為銳角，利用空間向量法即可得到所求值；

（Ⅲ）由計算出向量的坐標(biāo)，由，計算可得所求值.

（Ⅰ）在左圖中，為等邊三角形，E為中點，所以，所以.

因為，所以.

因為，，，所以平面；

（Ⅱ）設(shè)菱形的邊長為，由（Ⅰ）可知，，.

所以以為原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖空間坐標(biāo)系.

可得，，，，，.

設(shè)平面的法向量為，所以，即.

令，則.

平面的法向量為.

設(shè)二面角的大小為，則為銳角，；

（Ⅲ）由，

因為平面，則，即，所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加某個知識答題游戲節(jié)目，答題分兩輪，第一輪為“選題答題環(huán)節(jié)”第二輪為“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”.首先進(jìn)行第一輪“選題答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：每位同學(xué)各自從備選的5道不同題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行答題，答對一題加10分，答錯一題（不答視為答錯）減5分，已知甲能答對備選5道題中的每道題的概率都是，乙恰能答對備選5道題中的其中3道題；第一輪答題完畢后進(jìn)行第二輪“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：先確定一人坐莊答題，若答對，繼續(xù)答下一題…，直到答錯，則換人（換莊）答下一題…以此類推.例如若甲首先坐莊，則他答第1題，若答對繼續(xù)答第2題，如果第2題也答對，繼續(xù)答第3題，直到他答錯則換成乙坐莊開始答下一題，…直到乙答錯再換成甲坐莊答題，依次類推兩人共計答完20道題游戲結(jié)束，假設(shè)由第一輪答題得分期望高的同學(xué)在第二輪環(huán)節(jié)中最先開始作答，且記第道題也由該同學(xué)（最先答題的同學(xué)）作答的概率為（），其中，已知供甲乙回答的20道題中，甲，乙兩人答對其中每道題的概率都是，如果某位同學(xué)有機(jī)會答第道題且回答正確則該同學(xué)加10分，答錯（不答視為答錯）則減5分，甲乙答題相互獨立；兩輪答題完畢總得分高者勝出.回答下列問題

（1）請預(yù)測第二輪最先開始作答的是誰？并說明理由

（2）①求第二輪答題中，；

②求證為等比數(shù)列，并求（）的表達(dá)式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點，兩點分別是橢圓的上，下頂點，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點是橢圓上異于的動點，直線與直分別相交于兩點，點，求證：的外接圓恒過原點.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為實數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，對于函數(shù)，若存在，，使得，則稱函數(shù)是“函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)，是否是“函數(shù)”；

（2）設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小正周期是，若不是“函數(shù)”，求的最小值；

（3）若函數(shù)是“函數(shù)”，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點為，，離心率為，過點且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交橢圓于點，兩點，與線段和橢圓短軸分別交于兩個不同點，，且，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為.

（1）當(dāng)時，求的零點；

（2）若函數(shù)存在極小值點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在處有最大值，求的值；

（2）當(dāng)時，判斷的零點個數(shù)，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別稱為藥，藥）的療效，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)地選取 位患者服用藥，位患者服用藥，觀察這位患者的睡眠改善情況.這些患者服用一段時間后，根據(jù)患者的日平均增加睡眠時間（單位：），以整數(shù)部分當(dāng)莖，小數(shù)部分當(dāng)葉，繪制了如下莖葉圖：

（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種藥對增加睡眠時間更有效？并說明理由；

（2）求這名患者日平均增加睡眠時間的中位數(shù)，并將日平均增加睡眠時間超過和不超過的患者人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過

不超過

服用藥

服用藥

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為兩種藥的療效有差異？

附： .

0.01

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.若將曲線（為參數(shù)）上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>（縱坐標(biāo)不變），然后將所得圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到曲線C.直線l的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線C的普通方程；

（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，與x軸交于點P，線段AB的中點為M，求.

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