Question

【題目】如圖，已知四邊形為菱形，且，取中點(diǎn)為.現(xiàn)將四邊形沿折起至，使得.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)平面時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）只需證明，，，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得證明；

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量和平面的法向量.設(shè)二面角的大小為，可知為銳角，利用空間向量法即可得到所求值；

（Ⅲ）由計(jì)算出向量的坐標(biāo)，由，計(jì)算可得所求值.

（Ⅰ）在左圖中，為等邊三角形，E為中點(diǎn)，所以，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，，，所以平面；

（Ⅱ）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，由（Ⅰ）可知，，.

所以以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸，建立如圖空間坐標(biāo)系.

可得，，，，，.

設(shè)平面的法向量為，所以，即.

令，則.

平面的法向量為.

設(shè)二面角的大小為，則為銳角，；

（Ⅲ）由，

因?yàn)?/span>平面，則，即，所以.